Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Найбільшого прогресу піфагорійці досягли радше в математиці, ніж у фізиці. Усім відома теорема Піфагора про те, що площа квадрата, стороною якого є гіпотенуза прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ двох квадратів, сторони яких є двома катетами цього трикутника. Але невідомо, хто з піфагорійців довів цю теорему (якщо це взагалі було) і як. Просте її доведення можна вивести з теорії пропорцій, яку запропонував піфагорієць Архіт Тарентський, сучасник Платона (див. технічну примітку 4). Складніше доведення представлене як припущення 46 Книги І «Начал» Евкліда. Архіт також розв’язав відому проблему: як, маючи куб, за допомогою суто геометричних методів побудувати інший куб точно вдвічі більшого об’єму.

Теорема Піфагора привела безпосередньо до іншого великого відкриття: геометричні побудови можуть включати в себе довжину, яку не можна виразити як відношення цілих чисел. Якщо кожна із двох сторін прямокутного трикутника, прилеглих до прямого кута, має довжину (у будь-яких одиницях вимірювання), що дорівнює 1, тоді загальна площа двох квадратів із такими катетами буде 12 + 12 = 2. Тому, згідно з теоремою Піфагора, довжина гіпотенузи має становити число, квадрат якого дорівнює 2. Але ж легко продемонструвати, що число, квадрат якого дорівнює 2, не може бути виражене як відношення цілих чисел (див. технічну примітку 5). Доказ цього наведений у Книзі X «Начал» Евкліда, а крім того, його вже згадував раніше Арістотель у своїй «Першій аналітиці»4 як приклад reductio ad impossibile (приведення до неможливого), але без зазначення першоджерела. Існує легенда, що це відкриття належить піфагорійцю Гіппасу, імовірно, родом із Метапонта на півдні Італії, якого чи то вигнали, чи то вбили піфагорійці за розголошення відкритого.

Сьогодні ми могли б описати це як відкриття, що такі числа, як, наприклад, квадратний корінь із 2, ірраціональні – вони не можуть бути виражені як відношення цілих чисел. Згідно із Платоном5, Феодор Кіренський показав, що квадратні корені з 3, 5, 6… 15, 17… (тобто, хоч Платон цього й не каже, квадратні корені з усіх цілих чисел, крім 1, 4, 9, 16…, що є квадратами цілих чисел) ірраціональні в тому самому сенсі. Але давні греки не виразили б це так. Радше, як випливає із перекладу Платона, сторони квадратів, площі яких дорівнюють 2, 3, 5… квадратним одиницям, не порівнянні з однією одиницею вимірювання. Давні греки не мали поняття якихось чисел, окрім раціональних, тож для них величини на кшталт квадратного кореня із 2 могли мати лише геометричне значення, і це обмеження перешкоджало дальшому розвитку арифметики.

Традиція мати справу суто з математикою продовжилася в Академії Платона. Над її дверима нібито висіла табличка зі словами, що забороняли вхід туди необізнаним із геометрією. Сам Платон математиком не був, але до математики ставився прихильно, можливо, почасти через те, що під час подорожі на Сицилію, щоб стати наставником Діонісія Молодшого Сиракузького, він познайомився з піфагорійцем Архітом.

В Академії одним із математиків, що справив на Платона великий вплив, був Теєтет Афінський, який став головним персонажем одного із Платонових діалогів та об’єктом обговорення іншого. Теєтету приписують відкриття п’яти правильних тіл, що, як ми вже бачили, стали основою теорії елементів Платона. Доведення[2], запропоноване в «Началах» Евкліда, що це єдині можливі випуклі правильні тіла, може належати Теєтету, який також зробив свій внесок до теорії того, що сьогодні називають ірраціональними числами.

Найвидатнішим еллінським математиком IV століття до н. е., схоже, був Евдокс Кнідський, учень Архіта й сучасник Платона. Хоч значну частину свого життя він прожив у місті Кнід на узбережжі Малої Азії, Евдокс навчався в Академії Платона, а пізніше повернувся, щоб там викладати. Жодних письмових робіт Евдокса не збереглося, але йому приписують розв’язання багатьох складних математичних проблем, як-от демонстрації, що об’єм конуса дорівнює одній третині об’єму циліндра з такими самими основою та висотою. (Не уявляю, як Евдокс міг зробити це без інтегрального числення.) Але його найбільшим внеском до математики стало запровадження точного стилю, у якому теореми виведені з чітко викладених аксіом. Саме цей стиль ми пізніше знаходимо в роботах Евкліда. Фактично Евдоксу приписують багато моментів, викладених в Евклідових «Началах».

Хоча розвиток математики Евдоксом та піфагорійцями був великим інтелектуальним досягненням, для природничих наук він мав як позитивні, так і негативні наслідки. Насамперед дедуктивний стиль математичних робіт, виплеканий в Евклідових «Началах», нескінченно імітували дослідники природничих наук там, де це було не надто доречно. Як ми побачимо нижче, роботи Арістотеля з природничих наук містять мало математики, але часом схожі на пародію на математичні міркування, як у його описі руху у «Фізиці»: «A тоді проходитиме крізь B у час C, а також крізь D, що тонше, у час E (якщо довжина B дорівнює D) пропорційно густині тіла, що заважає. Нехай B буде вода, а D – повітря»6. Можливо, найвидатнішою роботою з давньогрецької фізики є «Про плаваючі тіла» Архімеда, яку ми розглянемо в розділі 4. Цей твір написано як математичний текст із незаперечними постулатами, за якими йдуть виведені пропозиції. Архімед був достатньо розумний, щоб вибрати правильні постулати, але наукове дослідження чесніше подавати як плетиво дедукції, індукції та здогадок.

Важливішим за питання стилю, хоч і пов’язаним із ним, є заохочувана математиками хибна мета: досягти достовірної істини за допомогою самого лише інтелекту. У дискусії про освіту філософів-царів у «Державі» Платон наводить аргумент Сократа, що астрономію слід вивчати так само, як і геометрію. Згідно із Сократом, дивитися в небо може бути корисно як поштовх для інтелекту так само, як дивитися на геометричну діаграму може бути корисно в математиці, але в обох випадках реальне знання приходить виключно через думку. Сократ у «Державі» пояснює, що «тими розмаїтими небесними узорами слід послуговуватися як прикладами у вивченні речей правдивих»7.

Математика є засобом, за допомогою якого ми виводимо наслідки фізичних принципів. Ба більше, це невід’ємна мова, якою виражені принципи фізичної науки. Вона часто навіює нові ідеї щодо природничих наук, а потреби науки, у свою чергу, часто просувають розвиток математики. Робота фізика-теоретика Едварда Віттена забезпечила такий великий прогрес у математиці, що 1990 року він був нагороджений однією з найвищих нагород у галузі математики – медаллю Філдса. Але математика не є природничою наукою. Сама по собі математика без спостереження нічого не може розповісти нам про світ. А спостереженням за світом математичні теореми не можна ані підтвердити, ані спростувати.

У Стародавньому світі