Читати книгу - "Загадковий нічний інцидент із собакою"

— У нього є ім’я? — спитав я.

— Ні. Сам вирішуй, як його назвати, — відповів Батько.

Собака гриз мій палець.

Минули 5 хвилин й задзвонив будильник у вигляді помідора. Тож ми з Матір’ю повернулися до її кімнати.

А наступного тижня була гроза з блискавкою, і блискавка влучила у велике дерево в парку біля будинку Батька й повалила його, тоді приїхали чоловіки, відпиляли гілки ланцюговими пилами й повезли колоди геть у вантажівці, і все, що лишилося, — це великий чорний скалковий пень зі звугленої деревини.

Також я отримав свої результати іспиту з математики рівня «А», і я отримав оцінку «А», а це найкращій результат, і через це я почувався ось так:

Я назвав собаку Піщаником. Батько купив для нього нашийник і повідець, і мені дозволили гуляти з ним до магазину й назад. І я грався з ним гумовою кісткою.

А тоді Мати захворіла на грип, і мені довелося провести три дні з Батьком і жити в його будинку. Але все було гаразд, оскільки Піщаник спав зі мною в ліжку й гавкав, коли вночі хтось заходив до мене в кімнату. А також Батько влаштував грядки з городиною, і я йому допомагав. Ми посадили моркву, горошок і шпинат, і я зберу їх і з’їм, коли вони достигнуть.

Я ходив із Матір’ю в книгарню й купив книжку під назвою «Іспит рівня “А” з вищої математики», а Батько сказав місіс Ґасконь, що наступного року я складатиму іспит рівня «А» з вищої математики, і вона погодилася.

Я його складу й отримаю оцінку «А». А за два роки я складу іспит рівня «А» з фізики й отримаю оцінку «А».

А тоді, коли я це зроблю, то вступлю до університету в іншому місті. І це не обов’язково має бути Лондон, оскільки мені не подобається Лондон, і університети є в багатьох інших містах, і не всі вони великі. Я житиму в квартирі з садом і окремим туалетом. І я візьму з собою Піщаника, книжки й комп’ютер.

Потім я отримаю диплом із відзнакою й стану вченим.

І я знаю, що здатен на це, оскільки я сам їздив до Лондона й оскільки я розгадав таємницю «Хто вбив Веллінгтона?», знайшов свою маму, був хоробрим і написав книжку, а це означає, що я здатен на все.

Задача

Доведіть, що:

«Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним».

Доведіть від супротивного, що обернене твердження невірне.

Розв’язання

Спочатку нам треба визначити, яка зі сторін трикутника, сторони якого виражені формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1), є найдовшою. Це можна виразити так:

n2 + 1 – 2n = (n – 1)2,

і якщо n > 1, тоді (n – 1)2 > 0.

Отже, n2 + 1 – 2n > 0,

отже, n2 + 1 > 2n.

Аналогічно (n2 + 1) – (n2 – 1) = 2,

отже, n2 + 1 > n2 – 1.

Це означає, що n2 + 1 є найдовшою стороною трикутника, сторони якого виражені формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1).

Це також можна продемонструвати за допомогою наступного графіка (але це нічого не доводить):

Згідно з теоремою Піфагора, якщо сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, то цей трикутник є прямокутним. Отже, для того, щоби довести, що цей трикутник прямокутний, нам треба показати це на наступному прикладі.

Сума квадратів двох катетів дорівнює (n2 – 1)2 + (2n)2

(n2 – 1)2 + (2n)2 =

= n4 – 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1.

Квадрат гіпотенузи дорівнює (n2 + 1)2

(n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1.

Отже, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, і цей трикутник є прямокутним.

А обернене твердження від «Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним» — це «Прямокутний трикутник має сторони, довжину яких можна виразити формулами n2 + 1, n2 – 1 та 2n (де n > 1)».

А доведення від супротивного означає, що треба довести існування прямокутного трикутника, сторони якого не можна виразити формулами