Читати книгу - "Історія європейської цивілізації. Епоха Відродження. Історія. Філософія. Наука і техніка, Умберто Еко"

analyticae praxis («Застосування аналітичного мистецтва») (опублікована після його смерті у 1631 р.), а символ «×» запропонував В. Отред (1575—1660) у Clavis mathematicae («Ключ до математики») (1631 р.). Найважливіше нововведення впровадив Франсуа Вієт у In artem analyticam isagoge («Вступ до аналітичного мистецтва») (1591 р.). Ф. Вієт першим навмисно й систематично використовував літери не лише для позначення невідомого, а і як спільні коефіцієнти. Він послуговувався приголосними для відомих величин, а голосними — для невідомих. Таким чином він відстежив важливу відмінність між параметром і невідомим та помітив, що під час вивчення формули з буквеними коефіцієнтами вивчається цілий клас або тип формул. Також він розрізняв видову логістику (яка вивчає типи формул) та числову логістику (що досліджує особливі числові випадки конкретних типів формул). Отже, він простежив важливу відмінність між абстрактною алгеброю й арифметикою і зробив вагомий внесок у процес узагальнення математики, який завершився в ХІХ ст.

Приголосні

та голосні

Рівняння

третього

степеня

Л. Пачолі в «Сумі» говорить, що неможливо знайти постійний метод для розв’язання рівнянь, степінь яких вищий за другий. Це твердження стимулювало математиків відщукати такий метод, і в 1545 р. було оприлюднено методи розв’язання рівнянь третього й четвертого степеня. Два розв’язки вперше опубліковано у праці Ars magna («Велике мистецтво») Джироламо Кардано (1501—1576), яка мала надзвичайний успіх. Як визнав сам Дж. Кардано, два розв’язання не були його винаходом. Перший, уточнив Дж. Кардано, надав Нікколо Тарталья (1499—1557), другий — його помічник Лодовіко Феррарі (1522—1565).

Виклики

та розв’язки

На ґрунті розв’язання рівняння третього степеня виникла найбільша суперечка століття між математиками й перша реальна дискусія про пріоритети в науці. Першим, хто знайшов розв’язок, став Сципіон дель Ферро (1465—1526?), котрий, перебуваючи на смертному одрі, у 1526 р. довірив його кільком своїм студентам, серед яких був Антоніо Марія Фйор. Н. Тарталья дізнався про метод — невідомо, чи за допомогою власних досліджень, чи через інші джерела — але в 1535 р. йому кинув виклик Фйор щодо розв’язання 30 математичних суперечливих питань, які вимагали застосування техніки кубічних рівнянь. Н. Тарталья розв’язав усі 30 питань, а Фйор лише одне з тих питань, які йому запропонував опонент.

Це довело, що розв’язок, запропонований Сципіоном, вимагав узагальнення різних випадків, аби розв’язати всі рівняння: Н. Тарталья, на відміну від Фйора, прийшов до цього узагальнення. Після цього виклику Дж. Кардано вдалось дізнатись розв’язання від Н. Тартальї під обіцянку не поширювати цю звістку доти, доки сам Тарталья її не опублікує. Проте Дж. Кардано опублікував розв’язання в Ars magna. Н. Тарталья відчув себе обманутим і пояснив причини цього в праці Quesiti et inventioni diverse, де дуже критикував Дж. Кардано та Л. Феррарі. У 1547 р. Л. Феррарі у праці «Виклик на дуель» звинуватив Н. Тарталья у плагіаті Сципіона дель Ферро і кинув йому математичний виклик. У контрвиступі Н. Тарталья відповів на виклик. Відбулося шість викликів і шість контрвиступів, у яких супротивники намагались довести свою перевагу в математичних навичках. Метод Н. Тарталью та

Дж. Кардано полягав у так званому заповненні куба. У Ars magna Дж. Кардано не пропонує спільного розв’язку, а представляє різні випадки та пояснює кожний особ­ливим чином. Повне узагальнення розв’язання для всіх рівнянь третього степеня зробили Бомбеллі та Вієт.

Відкриття розв’язання рівнянь третього та четвертого степенів стало потужним поштовхом до досліджень з алгебри й основою загальної теорії рівнянь. Багато хто після цього відкриття прагнув знайти метод розв’язання для рівнянь вищого степеня, але, як буде показано далі, такого методу не існує.

Ірраціональні

числа

Арифметика та розширення системи числення

У ХVІ ст. відбулося розширення системи числення: певні величини, які до того часу не вважалися числами, стали її повноправними членами. Близько 1500 р. нуль сприймався як число, а ірраціональні числа використовувались вільно. Упровадження ірраціональних чисел зумовлювалось тим, що їх можна було легко наблизити до раціональних чисел. Складніше ввести від’ємні числа; за допомогою поняття напрямку на прямій розв’язали питання різниці між додатними й від’ємними числами. Проте справжня проблема полягала в уявних числах, тобто коренях від’ємних чисел. Якщо раніше ці числа можна було відкинути, то тепер розв’язання кубічних і біквадратних рівнянь вимагало їх використання, хоча й лише інструментального. Першим, хто серйозно цим зайнявся, став Р. Бомбеллі, котрий у праці «Алгебра», таким чином, знайшов числа, які сьогодні називають комплексно-спряженими.

Бомбеллі ввів також використання ланцюгових дробів для апроксимації коренів.

Десяткові

числа

Ще одну важливу інновацію було запропоновано Сімоном Стевіном (1548—1620), котрий у праці La disme («Десята») (1585 р.) запровадив використання десяткових чисел. Це нововведення істотно полегшило процеси обчислення. Однак найбільша новація в цій галузі відбулася наприкінці століття, коли Джон Непер (1550—1617) запровадив використання чисел, якими раніше ніхто не займався, — логарифми. Ідея вперше спала на думку до Непера в 1594 р., але він оприлюднив її лише в 1614 р. у праці Mirifici logarithmorum canonis descripto. Концепція, на якій ґрунтуються логарифми, передрікалась у Arithmetica integra (1544 р.) Міхаеля Штифеля (1487—1567), котрий зрозумів зв’язок між арифметичними прогресіями

(0, 1, 2, 3 ...) та геометричними (0, r1, r2, r3 ...). Він визначив логарифми як геометрично, так і алгебраїчно.

Логарифми

Розглянемо геометричне визначення. Дано відрізок AB і промінь r, що починається з D і є нескінченним. Крім того, дано дві точки C і F на AB і r, які беруть початок одночасно в A і D на відповідних лініях. Уявімо, що дві точки мають у моменті t початкову однакову швидкість, а як наслідок, швидкість C зменшується поступово в міру наближення до B, тоді як F має постійну швидкість. У будь-який конкретний момент із моменту t сегменти CB і DF мають дану довжину. Відстань СВ зменшується геометрично, а відстань DF зростає арифметично. Непер назвав відстань DF логарифмом відстані СВ. Він спочатку позначав ці числа як «штучні», а потім — як «логарифми», що означає «числа відношення» (від logos та arithmos), оскільки вони є числами відношень між геометрично низхідним і арифметично зростаючим