Читати книгу - "Пояснюючи світ"

дорівнює куту в місці перетину сторін BP та CP. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює двом прямим кутам[68], або, у більш знайомих нам термінах, 180°, тож якщо ми позначимо третій кут трикутника ACP (кут у місці перетину сторін AC та CP) як αʹ і так само кут у місці перетину сторін ВС та CP позначимо як βʹ, то отримаємо такі рівності:

2α + αʹ = 180° і 2β + βʹ = 180°.

Додавши ці два рівняння й переставивши доданки, отримаємо таке:

2(α + β) + (αʹ + βʹ) = 360°.

Тепер αʹ + βʹ – розгорнутий кут між сторонами AC та ВС, що утворюють відрізок прямої, а отже, дорівнюватиме половині повного оберту, або 180°, тому

2(α + β) = 360° − 180° = 180°,

а отже, α + β = 90°. На рис. 1 видно, що α + β є кутом між сторонами AP та BP трикутника ABP, з якого ми почали, тож це справді прямокутний трикутник, що і треба було довести.

2. Платонові тіла

У міркуваннях Платона про природу матерії центральну роль відігравав клас тіл, відомих як правильні багатогранники, що стали також відомі як платонові тіла. Ці правильні багатогранники можна вважати тривимірними узагальненнями правильних багатокутників планіметрії, і в деякому сенсі вони побудовані з правильних багатокутників. Правильний багатокутник є плоскою фігурою, обмеженою якоюсь кількістю n відрізків прямих, які мають однакову довжину й зустрічаються в кожній із n вершин з однаковими кутами. Прикладами є рівносторонній трикутник (трикутник, усі сторони якого рівні) і квадрат. Правильний багатогранник є об’ємним тілом, обмеженим однаковими правильними багатокутниками з однаковою кількістю N багатокутників, що збігаються в кожній вершині з однаковими кутами.

Найбільш знайомим нам прикладом правильного багатогранника є куб. Куб обмежується шістьма рівними квадратами, і в кожній із його восьми вершин збігаються три квадрати. Є ще простіший правильний багатогранник – тетраедр, трикутна піраміда, обмежена чотирма однаковими рівносторонніми трикутниками, і в кожній із його чотирьох вершин збігаються три трикутники. (Ми розглядатимемо тут лише опуклі багатогранники, у яких кожна вершина спрямована назовні, як-от куб і тетраедр.) Як свідчить текст «Тімея», Платону якимось чином було відомо, що ці правильні багатогранники бувають лише п’яти можливих форм; і він вважав, що такі форми мають атоми, з яких складається вся матерія. Цими формами є тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, а також ікосаедр – з 4, 6, 8, 12, а також 20 гранями відповідно.

Найпершою (з тих, що дійшли до нас з античних часів) спробою довести, що існує лише п’ять правильних багатогранників, є кульмінаційний останній параграф Евклідових «Начал». У твердженнях з 13 по 17 Книги XIII Евклід наводить геометричні побудови тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра, а також додекаедра. Нижче він стверджує:[69] «Далі я кажу, що не можна побудувати жодної іншої фігури, крім названих п’яти, що складалася б з рівносторонніх та рівнокутних фігур, рівних одна одній». Насправді ж після цього твердження Евклід зосередився на вужчому питанні, що для правильного багатогранника можливі лише п’ять комбінацій кількості сторін n кожної багатокутної грані, а також кількості N багатокутників, що збігаються в кожній вершині. Описане нижче доведення фактично таке саме, як Евклідове, тільки виражене в сучасних термінах.

Першим кроком буде обчислення внутрішнього кута θ (тета) у кожній із n вершин n-стороннього правильного багатокутника. Проведемо лінії від центра багатокутника до вершин. Це ділить багатокутник на n трикутників. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника становить 180°, а кожен із цих трикутників має дві вершини з кутами θ/2, то кут третьої вершини кожного трикутника (тієї, що в центрі багатокутника) має дорівнювати 180°− θ. Але сума n таких кутів має становити 360°, тому n (180° − θ) = 360°. З цього отримуємо:

Наприклад, для рівностороннього трикутника n = 3, тому θ == 180° − 120° = 60°, тоді як для квадрата n = 4, тому θ = 180° − 90° = 90°.

Наступним кроком уявімо собі, що ми відрізали всі ребра та вершини правильного багатогранника, крім тих, що збігаються в якийсь одній вершині, і розплющили те, що утворилося, на площині. Тоді N багатокутників, що збігаються в такій вершині, лежатимуть в одній площині, але між ними має бути простір, інакше N багатокутників утворять одну суцільну плоску фігуру. Тому має бути Nθ < 360°. Підставивши замість θ отриману першим кроком формулу й поділивши обидві частини нерівності на 360°, отримаємо:

або, що те саме (якщо поділити обидві частини нерівності на N):

Ми маємо отримати n ≥ 3, бо інакше не було б простору між сторонами багатокутників, а також ми повинні отримати N ≥ 3, бо інакше не було б місця між гранями, що збігаються разом біля вершини (наприклад, для куба n = 4, бо сторони є квадратами, а N = 3). Отже, згадана вище нерівність не дозволяє ані 1/n, ані 1/N бути таким малим як, наприклад, 1/2 − 1/3 = 1/6, а отже, ні n, ні N не може дорівнювати чи бути більшим від 6. Ми можемо легко перевірити всі можливі пари цілих чисел у діапазонах 5 ≥ N ≥ 3 та 5 ≥ n ≥ 3 на відповідність нерівності й побачити, що є лише п’ять таких пар:

a) N = 3, n = 3

b) N = 4, n = 3

c) N = 5, n = 3

d) N = 3, n = 4

e) N = 3, n = 5

(У випадках n = 3, n = 4 та n = 5 сторони правильного багатогранника є відповідно рівносторонніми трикутниками, квадратами та правильними п’ятикутниками.) Це ті значення N та n, які ми знаходимо в тетраедрі, октаедрі, ікосаедрі, кубі, а також додекаедрі.

Усе це довів Евклід. Але він не довів, що для кожної пари n та N є лише один правильний багатогранник. Ми підемо далі Евкліда й покажемо, що для кожного значення N та n можна отримати єдино можливі комбінації інших властивостей багатогранника: кількості граней F, кількості ребер E та кількості вершин V. Тут є три невідомі величини, тож нам знадобляться три рівняння, щоб знайти їх. Щоб вивести перше, зверніть увагу, що загальна кількість сторін усіх багатокутників, що утворюють поверхню багатогранника, становить nF,